Automorfisme intern

En àlgebra abstracta, un automorfisme intern és una funció en la qual s'aplica una operació, després una altra operació, i després es reverteix l'operació inicial. Simbòlicament, ${\displaystyle X\mapsto (f^{-1}\circ g\circ f)(X)}$. A vegades, l'acció inicial i la seva reversió proporcionen un resultat global diferent, i en altres ocasions, no.

Més formalment, un automorfisme intern d'un grup G és una funció

f : G → G

definida per a qualsevol x de G com

f(x) = a⁻¹xa,

on a és un element fixat de G, i on s'interpreta l'acció dels elements del grup que sigui per la dreta.

L'operació a⁻¹xa s'anomena conjugació (vegeu també Classe de conjugació), i sovint és interessant distingir els casos on la conjugació per un element deixa fix un altre element dels casos on la conjugació genera un element nou.

De fet, quan es diu que la conjugació de x per a deixa fix x, és a dir,

a⁻¹xa = x,

és equivalent a dir que a i x commuten:

ax = xa.

Per tant, l'existència i el nombre d'automorfismes interns que no són la funció identitat proporcionen una mesura de fins a quin punt el grup no verifica la propietat commutativa.

Un automorfisme d'un grup G és intern si i només si s'estén a qualsevol grup que contingui G.^[1]